Задача №149. Расчёт монопольной цены

Какую цену выгодно установить монополисту, если постоянные издержки составляют 250 тысяч рублей в год, переменные затраты на единицу товара – 5 рублей, а величина спроса при цене, равной 6 рублей достигает 300 тысяч штук в год и падает на 10 тысяч штук при увеличении цены на каждые 50 копеек? Учтите, что по данным исследования рынка, кривая спроса представляет собой отрезок прямой.

Решение:

Найдём функцию спроса на товар. По условию задачи кривая спроса – это отрезок прямой. Уравнение прямой можно найти по координатам двух точек:

Q₁ = 300, P₁ = 6 и Q₂ = 290, P₂ = 6,5.

Уравнение прямой в общем виде имеет вид:

y = a + b × x.

Перепишем в наших обозначениях:

Q = a + b × P.

Подставим координаты точек в уравнение, получим систему из двух уравнений:

Вычтем из первого уравнения второе:

10 = – 0,5 × b

b = – 20

Тогда,

а = 300 – (– 20) × 6 = 420.

Запишем функцию спроса:

Q = 420 – 20 × P.

Обратная функция спроса будет иметь вид:

Р = 21 – Q/20

Найдём общие затраты фирмы по формуле:

TC = VC + FC

Переменные затраты равны:

VC = AVC × Q = 5 × Q

Тогда функция общих затрат примет вид:

ТС = 5 × Q + 250

Найдём функцию предельных затрат фирмы, как производную от общих:

MC = TC’ = 5

Найдём функцию общего дохода:

TR = P × Q

Так как Р = 21 – Q/20, то тогда

TR = (21 – Q/20) × Q = 21 × Q – Q²/20

MR = TR’ = 21 – Q/10

Так как прибыль монополиста максимальна при условии, что предельные издержки равны предельному доходу, составим и решим уравнение:

MC = MR

5 = 21 – Q/10

Тогда Q = 160, а Р = 21 – 160/20 = 13

Следовательно, монополисту выгодно установить цену равную 13 руб.