Задача №117. Расчёт объёма производства, обеспечивающего максимум прибыли

Функция спроса на продукцию монополиста

Q = 110 - 0,5 × P

и функция общих затрат

ТС = 1500 + 40 × Q + Q².

Найти объём производства, обеспечивающий максимальную прибыль. Вычислить наибольшую прибыль.

Решение:

Условие максимизации прибыли монополии имеет вид:

MC = MR.

Найдём величину предельных издержек. Вычислим производную от функции общих издержек:

MC = TC' = (1500 + 40 × Q + Q²)' = 40 + 2 × Q

Перепишем функцию спроса в виде Р(Q).

P = 220 - 2 × Q

Определим функцию общего дохода по формуле:

TR = P × Q = (220 - 2 × Q) × Q = 220 × Q - 2 × Q²

Теперь найдём величину предельного дохода как производную от функции общего дохода.

MR = TR' = (220 × Q - 2 × Q²)' = 220 - 4 × Q

Приравняем функции MC и MR:

40 + 2 × Q = 220 - 4 × Q

6 × Q = 180

Q = 30 - это и есть объём производства, обеспечивающий максимальную прибыль.

Рассчитаем максимальную прибыль по формуле:

П = TR - TC = PQ - TC = (220 - 2 × Q) × Q - (1500 + 40 × Q + Q²) =

= 220 × Q - 2 × Q² - 1500 - 40 × Q - Q² = 180 × Q - 3 × Q² - 1500

П (Q = 30) = 180 × 30 - 3 × 30² - 1500 = 1200