Задача №151. Расчёт равновесного объема и монопольной цены

Общие издержки фирмы-монополиста зависят от выпуска:

ТС = 4 × Q³ – 6 × Q² + 3 × Q.

Уравнение рыночного спроса на данном рынке имеет вид:

Р = Q² – 3×Q + 9/4 (Q < 1,5).

а) Определите равновесный объем и цену продукции монополиста.

b) Можно ли определить, является ли найденное равновесие
долгосрочным или краткосрочным?

Решение:

а) Равновесный объём и цена на монопольном рынке определяются исходя их условия максимизации прибыли:

MC = MR,

где

MC – предельные издержки,

MR – предельная выручка.

Найдём функцию предельных издержек как производную от общих издержек:

MC = TC' = (4 × Q³ – 6 × Q² + 3 × Q) ' = 12 × Q² – 12 × Q + 3

Найдём функцию предельной выручки как производную от общей выручки:

MR = TR ' = (P × Q)' = ((Q² – 3 × Q + 2,25) × Q) ' = (Q³ – 3 × Q² + 2,25 × Q) ' =

= 3 × Q² – 6 × Q + 2,25

Приравняем МС к MR:

12 × Q² – 12 × Q + 3 = 3 × Q² – 6 × Q + 2,25

9 × Q² – 6 × Q + 0,75 = 0

Найдём корни квадратного уравнения:

D = b² – 4ac = 36 – 4 × 9 × 0,75 = 9

Возьмём ответ со знаком "+", так как ответ со знаком "–" будет максимизировать убытки, а не прибыль:

Q = (6+3) / 18 = 0,5

Q входит в область допустимых значений. Рассчитаем цену:

P (Q = 0,5) = 0,5 ² – 3 × 0,5 + 2,25 = 1

б) В долгосрочном периоде все ресурсы являются переменными, следовательно, общие издержки состоят только из переменных издержек, зависящих от объёма производства.
По условию функция общих издержек состоит только из слагаемых, зависящих от переменной Q:

ТС = 4 × Q³ – 6 × Q² + 3 × Q.

Свободного члена в данном уравнении нет, следовательно, постоянные издержки равны нулю:

FC = 0.

А это характерно только для долгосрочного периода.

Кроме этого, экономическая прибыль фирмы-монополиста равна нулю:

П = TR – TC = P × Q – TC = 1 × 0,5 – 4 × 0,5³ + 6 × 0,5² – 3 × 0,5 = 0