Функция общих затрат совершенно конкурентной фирмы имеет вид:
ТС = Q3 - 16Q2 + 100Q + 500.
Запишите уравнение прямой и обратной функции предложения данной фирмы в краткосрочном периоде.
1. Фирма максимизирует выпуск в краткосрочном периоде, если цена продукта равна предельным издержкам:
Р = МС
Определим величину предельных издержек. Возьмём первую производную от функции общих издержек:
МС = (ТС)' = (Q3 - 16Q2 + 100Q + 500)' = 3Q2 - 32Q + 100
P = 3Q2 - 32Q + 100 - это и есть обратная функция предложения фирмы совершенного конкурента.
Найдём область допустимых значений этой функции.
Функция предложения фирмы совпадает c восходящим участком функции предельных издержек, начиная с точки минимума средних переменных издержек, включая эту точку.
Найдём эту точку минимума. Выделим из функции общих издержек величину переменных издержек:
VC = Q3 - 16Q2 + 100Q
Средние переменные издержки определим по формуле:
AVC = VC / Q = (Q3 - 16Q2 + 100Q) / Q = Q2 - 16Q + 100.
Определим минимум этой функции. Приравняем к нулю её производную и найдём Q, при котором средние переменные издержки будут минимальны.
AVC' = 0
(Q2 - 16Q + 100)' = 0
2Q - 16 = 0
Q = 8
При Q = 8 минимум средних переменных издержек будет равен:
AVCmin = 82 - 16 × 8 + 100 = 36
Таким образом, обратная функция предложения имеет вид:
Ps = 3 × Q2 - 32 × Q + 100 при Q ≥ 8.
2. Запишем уравнение прямой функции предложения.
Функция предложения фирмы в краткосрочном периоде на рынке совершенной конкуренции имеет вид:
Решим квадратное уравнение:
P = 3 × Q2 - 32 × Q + 100
3 × Q2 - 32 × Q + 100 - Р = 0
D = b2 - 4ac = 322 - 4 × 3 × (100 - P) = 1024 - 12 × (100 - P) = 12P - 176
Выберем решение Q1 с положительным знаком, так как при Q2 максимизируются убытки, а не прибыль.
Уравнение прямой функции предложения фирмы в краткосрочном периоде имеет вид.
Условие задачи заимствовано из: Акимов Д.В. Задания по экономике: от простых до олимпиадных. Пособие для 10-11 классов общеобразоват. учрежд. /Д. В. Акимов, О. В. Дичева, Л. Б. Щукина. - М. : Вита-Пресс, 2008. - 320 с.: ил.