Задача №198. Лидерство в ценообразовании

На рынке, где спрос равен

Qd = – 2000P + 70000,

действует 100 фирм, предельные издержки каждой из которых равны

MС_i = q + 5.

В данном году на рынок входит фирма А, которая, благодаря преимуществам в издержках (ее средние издержки при постоянной отдаче от масштаба равны 15), становится доминирующей.

Определить:

Какую долю рынка получит данная фирма?

Какая цена установится на рынке?

Получат ли остальные фирмы прибыль?

Решение:

По условию задачи предельные издержки каждой фирмы равны:

MС_i = q + 5

Каждая фирма-аутсайдер ведет себя как совершенный конкурент, то есть не может повлиять на цену, потому что она имеет очень малую долю рынка и принимает её как заданную, установленную доминирующей фирмой. Исходя из этого, каждая такая ведомая фирма выбирает объём выпуска, максимизирующий её прибыль. Условием максимизации прибыли для фирмы из конкурентного окружения служит равенство цены предельным издержкам:

MC_i = Р_L

Это определяет кривую предложения для каждой фирмы-аутсайдера:

q + 5 = Р_L

Соответственно, предложение всего конкурентного окружения будет равно:

Sf = 100 × ( Р_L – 5) = 100 × Р_L – 500

Фирма – лидер при принятии решения о выпуске, ориентируется на остаточный спрос – тот спрос, который остается на рынке после того, как аутсайдеры продали свой товар на рынке.

Объём выпуска, продаваемый доминирующей фирмой, составит:

Q_L = Q_d(P) – Sf =

= – 2000 Р_L + 70000 – (100 × Р_L – 500) =

= –2100 Р_L + 70500

Эта кривая называется кривой остаточного спроса для лидера.

С этого момента задача ничем не отличается от обычной задачи для монополии. Выражая Р_L как функцию выпуска лидера Q_L имеем

Р_L = 70500 / 2100 – Q_L / 2100 = 33,57 – 0,000476 × Q_L

Это обратная функция спроса для лидера.

Предельный доход фирмы-лидера будет задан выражением:

MR_L = (TR)’ = 33,57 – 0,000952 * Q_L

Средние издержки по условию задачи

АТС_L = 15, следовательно, общие издержки будут выражаться функцией:

ТС_L = ATC_L × Q_L = 15 × Q_L

Функция предельных издержек будет равна:

МС_L= (ТС_L)’= 15

Приравнивание предельного дохода к предельным издержкам (условие максимизации прибыли монополии) даёт уравнение:

MR_L = 33,57 – 0,000952 × Q_L = 15 = МС_L

Находя из него объём выпуска лидера, максимизирующий его прибыль, получаем:

18,57 = 0,000952 × Q_L

Q_L = 19500

Подставим полученное значение в уравнение:

Р_L = 33,57 – 0,000476 × Q_L

Получим равновесную цену:

Р_L = 33,57 – 0,000476 × 19500 = 24,29

Подстановка значения равновесной цены в функцию спроса дает совокупный выпуск всех фирм на рынке:

Q_d = – 2000 × 24,29 + 70000= 21428,57

Тогда доля рынка фирмы-лидера составит:

d_L = 19500 / 21428,57 = 0,91 или 91%

Подставив значение цены в функцию предложения фирмы-аутсайдера, найдём её объём выпуска:

q = 24,29 – 5 = 19,29

Из условия задачи предельные издержки фирмы-аутсайдера равны:

MС_i = q + 5

Проинтегрируем эту функцию и найдём функцию общих издержек:

ТС_i = ∫ MС_i dq = ∫ (q + 5)dq = ½ × q² + 5q + const

Где роль константы играет величина постоянных издержек FC.

Тогда прибыль фирмы-аутсайдера составит:

П = TR – TC = PQ – TC = 24,29 × 19,28571 – (½ × 19,28571 ² + 5 × 19,28571 + FC) = 185,97 – FC

Следовательно, остальные фирмы получат положительную прибыль, если их постоянные издержки окажутся меньше 185,97.