Задача №157. Расчёт оптимального выпуска и цены фирмы монополиста

Монополия стремится максимизировать выручку, но при этом ее акционеры не готовы допустить снижения уровня прибыли ниже 2000. Известны функции спроса и затрат:

Р = 400 – 2 × Q,

ТС = 400 + 8 × Q + 2 × Q².

Определите:

а) оптимальный объем выпуска и цену;
b) каким был бы оптимальный выпуск и цена, если бы монополия
преследовала цель максимизации выручки без ограничений на значение прибыли.

Решение:

Монополия стремится максимизировать выручку

TR → max

Для нахождения экстремума функции необходимо приравнять к нулю её производную.

ТR’ = (PQ)’ = (400 × Q – 2 × Q2)’ = 400 – 4 × Q

400 – 4 × Q = 0

Q = 100

Р = 400 – 2 × 100 = 200

Выясним, будет ли при этих значениях цены и объёма прибыль равна 2000.

П = TR – ТС = PQ – ТС

П = 100 × 200 – (400 + 8 × 100 + 2 × 100²) = – 1 200

Однако акционеры не готовы допустить снижения уровня прибыли ниже 2000.

Найдём оптимальный объём выпуска, при котором компания получит прибыль в размере 2000.

П = (400 – 2 × Q) × Q – (400 + 8 × Q + 2 × Q²) = 2000

400 × Q – 2 × Q² – 400 – 8 × Q – 2 × Q² = 2000

– 4 × Q² + 392 × Q – 2400 = 0

– Q² + 98 × Q – 600 = 0

Отсюда

D = 9604 - 2400 = 7204

Q₁ = 91,44, Q₂ = 6,56.

Так как функция общей выручки для линейной функции спроса возрастает при увеличении Q (от 0 до 100), а далее убывает, то из найденных значений в качестве оптимального следует выбрать то, которое ближе к 100. То есть Q₁ = 91,44.

При этом цена будет равна:

Р = 400 – 2 × 91,44 = 217,12.