Задача №83. Расчёт прибыли

Найти выпуск, обеспечивающий минимум средних затрат при МС = 2 × Q – 10, FC = 100. Сравнить прибыль при этом выпуске с максимальной прибылью при Р = 20.

Решение:

1. Найдём функцию общих затрат TC, зная её производную. Для этого рассчитаем первообразную от функции предельных затрат МС:

где

С – константа, равная величине постоянных затрат.

Таким образом функция общих затрат имеет вид:

ТС = Q² – 10Q + 100.

Найдём функцию средних затрат по формуле:

Для нахождения экстремума (минимума средних затрат) функции приравняем к нулю её производную.

Производная функции средних затрат равна:

Приравняем её к нулю:

Итак, выпуск Q = 10 обеспечивает минимум средних затрат:

АТС = 10-10+10=10

2. Расчёт прибыли произведём по формуле, учитывая, что P = 20:

П = TR – TC = PQ – (Q² – 10Q + 100) = 20 × Q – (Q² – 10Q + 100) =

= 20 × Q – Q² + 10 × Q – 100 = – Q² + 30Q – 100,

где

TR - общий доход или выручка, равная произведению цены на количество выпущенной продукции.

При Q = 10 прибыль будет равна:

П = – 100 + 30 × 10 – 100 = 100.

Определим объём выпуска, при котором прибыль будет максимальной. Другими словами найдём экстремум функции прибыли. Для этого найдём производную функции прибыли и приравняем её к нулю.

П’ = (– Q² + 30Q – 100)’ = – 2Q + 30

– 2Q + 30 = 0

Q = 15

Итак, выпуск Q = 15 обеспечивает максимум прибыли. Найдём величину прибыли, подставив это значение в функцию прибыли.

П = – Q² + 30Q – 100 = – 225 + 30 × 15 – 100 = 125

Делаем вывод: при Q = 10, когда средние затраты минимальны, П = 100;
при Q = 15, когда прибыль максимальна, она равна 125. Следовательно, недополученная прибыль будет равна 25.