Задача №23. Расчёт показателей асимметрии и эксцесса

Распределение коммерческих банков по размеру активов характеризуется следующими данными:

Определите характеристики распределения:

а) среднюю;

б) моду;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициент вариации;

д) коэффициент асимметрии и эксцесс.

 

Решение:

Данный интервальный вариационный ряд содержит открытые интервалы, которые предварительно необходимо закрыть. Для этого из величины верхней границы первого интервала надо вычесть величину второго интервала. Получим нижнюю границу первого интервала.

200 - 100 = 100.

Первый интервал: 100 - 200.

Теперь к нижней границе последнего интервала прибавляем величину предшествующего интервала:

600 + 100 = 700

Последний интервал: 600 - 700.

а) Определение средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

 

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения каждого интервала.

Так, например, дискретная величина х для первого интервала будет равна: (100 + 200) / 2 = 150.

Построим таблицу рассчётных данных:

 Дальнейший расчёт производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной.

 

б) Определим моду.

Мода - это величина признака наиболее часто встречающегося в совокупности.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где

х_Мо – начальное значение интервала, содержащего моду;

i_Мо – величина модального интервала,

f_Мо – частота модального интервала,

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода содержится в интервале от 300 до 400, так как у этого интервала наибоьшая частота

f = 52.

  млн. руб.

в) Найдём среднее квадратическое отклонение:

 

Значения размера активов в ряду распределения могут отличаться от среднего значения на 104,28 млн. руб.

Дисперсия будет равна:

σ² = 10 875

г) Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Совокупность однородна, так как коэффициент вариации не превышает 33%.

д) Рассчитаем показатель асимметрии через отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, то есть

где μ₃ - центральный момент третьего порядка, рассчитываемый по формуле:

μ₃ = 88 275 000 / 100 = 882 750

As = 882 750 / 104,28³ = 0,78

Так как величина показателя асимметрии положительна, следовательно, речь идёт о правосторонней асимметрии.

Полученный результат свидетельствует о наличии несущественной по величине и положительной по своему характеру асимметрии.

Далее рассчитаем показатель эксцесса (Е_k). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвёртого порядка:

μ₄ = 52 123 312 500 / 100 = 521 233 125

σ⁴ = 118 265 625

E_k = 521 233 125 / 118 265 625 – 3 = 4,41 - 3 = 1,41

Так как Ek > 0 распределение является островершинным.