Задача №1. Расчёт средней арифметической, модального и медианного значения

Распределение торговых фирм по размеру месячного товарооборота характеризуется следующими данными:

Определите:

а) средний размер месячного товарооборота на одну фирму;

б) модальное и медианное значение месячного товарооборота;

в) сделайте выводы о характере данного распределения.

Решение:

а) Рассчитаем средний размер товарооборота на одну фирму.

В данном ряду варианты усредняемого признака (товарооборот) представлены не одним числом, а в виде интервала «от – до». Причём первый и последний – интервалы открытые.

В таких рядах условно принимается, величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей. Таким образом, товарооборот первой группы от 0 до 5 млн. руб., товарооборот последней – от 25 до 30 млн. руб. Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так для первой группы дискретная величина х будет равна: (0 + 5) / 2 = 2,5. Дальнейший расчёт производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

Исходные и расчётные данные представим в таблице:

б) Определим модальное и медианное значение месячного товарооборота.
В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

x_Mo – начальное значение интервала, содержащего моду;
i_Mo – величина модального интервала,
f_Mo – частота модального интервала,
f_(Mo-1) – частота интервала, предшествующего модальному,
f_(Mo+1) – частота интервала, следующего за модальным.

Наибольшее число фирм (26) имеют величину товарооборота от 5 до 10 млн. руб. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения. Введём следующие обозначения:

x_Mo=5, i_Mo=5, f_Mo=26, f_(Mo-1)=20, f_(Mo+1)=20.

Подставим эти значения в формулу моды и произведём вычисления:

Следовательно, наибольшее число фирм имеет товарооборот 7,5 млн. руб.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

где x_Mе – начальное значение интервала, содержащего медиану;
i_Mе – величина медианного интервала;
Σf – сумма частот ряда;
S_(Me-1) – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
f_Me – частота медианного интервала.

Определим, прежде всего, медианный интервал. Сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (66), соответствует интервалу 10 – 15. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим её значение по приведённой выше формуле, если:

x_Mе=10, i_Mе=5, Σf=100, S_(Me-1)=46, f_Me=20:

Таким образом, половина фирм имеет товарооборот менее 11 млн. руб., а остальные фирмы – более 11 млн. руб.

в) В симметричных рядах распределения значения моды и медианы совпадают со средней величиной, а в умеренно ассиметричных они соотносятся таким образом:

Соотношение характеристик центра распределения товарооборота свидетельствует об умеренной асимметрии:
3(12,4-11) ≈12,4-7,5