Задача №47. Построение модели линейной регрессии

Имеются данные о количестве проданного товара и его цене:

Изобразить данные на графике, построить модель линейной регрессии, определить тесноту связи. Объяснить значение коэффициентов.

Решение:

Изобразим данные на графике:

Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии:

(– количество проданного товара, зависящее от цены Р),

необходимо решить систему нормальных уравнений относительно a и b:

Построим таблицу исходных и расчётных данных.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

№ п/п	Р	Q	P2	Q2	P×Q
1	5	8	25	64	40	6
2	3,5	10	12,25	100	35	13,28571
3	2	24	4	576	48	20,57143
4	2	16	6,25	256	40	18,14286
Итого	13	58	47,5	996	163	58
Среднее	3,25	14,5	х	х	40,75	х
	1,3125	х	х	х	х	х
	1,145644	х	х	х	х	х

Средние значения P и Q определим по формуле средней арифметической простой:

Среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

Возведя в квадрат полученное значение, получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Подставим в данное уравнение исходные значения Р и найдём сумму расчётных значений Q (последняя графа таблицы).

Так как суммы исходных и расчётных значений Q совпадают, следовательно, параметры уравнения найдены верно.

С увеличением цены на 1 руб. количество проданного товара снизится  в среднем на 4,86 тыс.

Найдём коэффициент корреляции для оценки силы связи между двумя переменными – количеством проданного товара (Q) и ценой (P):

Расчётная таблица:

№ п/п	P	Q
1	5	8	-11,375	3,0625	42,25
2	3,5	10	-1,125	0,0625	20,25
3	2	24	-11,875	1,5625	90,25
4	2,5	16	-1,125	0,5625	2,25
Итого	13	58	-25,5	5,25	155
Среднее	3,25	14,5	-

Оценим корреляцию по шкале Чеддока.

Полученный коэффициент корреляции указывает на высокую связь между ценой и количеством проданного товара. Знак минус показывает обратную зависимость между ценой и объёмом продаж.