Задача №69. Расчёт оптимального объёма потребления

Маша тратит 140 р. в месяц на персики и клубнику.

а) Общая полезность персиков независимо от количества клубники оценивается в:

TU(x) = 30x – 2x²,

где

х – количество килограммов персиков в месяц.

Общая полезность клубники также не зависит от наличия персиков и составляет:

TU(y) = 20y – y²,

где

у – количество килограммов клубники.

Цена персиков – 10 р. за килограмм, а клубники – 20 р.

Сколько купит клубники рациональная Маша?

б) Предположим, что изменились условия в том, что касается полезности клубники:

TU(y) = 20y – ху.

в) Что будет, если общая полезность задаётся формулой:

TU(x,y) = 20y*30x – xy ?

 

Решение:

Рациональная Маша купит столько клубники и персиков, чтобы соблюдалось правило максимизации полезности:

А также стоимость её потребительской корзины не выходила за рамки её бюджета.

Математическая модель бюджетного ограничения выглядит следующим образом:

М = Р_х*х + Р_у*у.

а) Найдём предельную полезность персиков, как производную от общей полезности:

MU(x) = 30 – 4*x

Аналогично найдём предельную полезность клубники:

MU(у) = 20 – 2*у

По правилу максимизации полезности:

Подставим получившуюся величину в бюджетное ограничение:

140 = 10 * (5 + 0,25 * у) + 20 * у

140 = 50 + 2,5 * у + 20 * у

90 = 22,5 * у

у = 4,

тогда:

х = 5 + 0,25 * 4 = 6.

Рациональная Маша купит 4 килограмма клубники.

б) Найдём предельную полезность клубники, если полезность клубники описывается функцией:

TU(y) = 20y – ху

MU(у) = 20 – х.

Тогда правило максимизации полезности будет иметь вид:

Подставим получившуюся величину в бюджетное ограничение:

Таким образом, Маша купит 4,143 килограмма клубники.

в) Если общая полезность задаётся формулой TU(x,y) = 20y*30x – xy, предельная полезность персиков и клубники будет равна частной производной от этой функции:

MU(x) = 20*у*30 – у,

MU(у) = 20*30*х – х.

Правило максимизации полезности будет иметь вид:

Подставим получившуюся величину в бюджетное ограничение:

140 = 10 * 2 * у + 20 * у

40 * у = 140

у = 3,5

х = 7

В этом случае Маша купит 3,5 килограмма клубники.

 

Условие задачи взято из: Мицкевич А.А.
Сборник заданий по экономике : Для учащихся 9—11 классов: В 3-х книгах .- Ч. 1: Задачник по микроэкономике .- 3-е изд., переработанное .- М. : Вита-Пресс, 2001.- 462 с.

Внимание!

В задачнике в ответах на пункты б) и в) допущены ошибки.

Будьте внимательны.