Задача №5. Построение автокорреляционной функции

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии y_t жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда.

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

 

Решение:

1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, то есть между соседними уровнями ряда y_t и y_t-1 (лаг = 1), и измерим тесноту связи между объёмом потребления электроэнергии в текущем и предыдущем году.

Для этого составим таблицу расчётных данных.

Расчёт коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда объемов потребления электроэнергии жителями региона:

Рассчитаем выборочные средние:

Определим коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

Полученное значение свидетельствует об очень слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней.

Рассчитаем коэффициент автокорреляции 2-го порядка.

Выборочные средние:

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

Продолжив расчёты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Её значения приведены в таблице:

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде линейной тенденции и сезонных колебаний периодичностью в 4 квартала.

2. Построим аддитивную модель временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объёмы потребления электроэнергии (гр. 3);

2) разделив полученные суммы на 4, найдём скользящие средние (гр. 4). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

3) приведём эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдём средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние  (гр.5).

Расчёт оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Шаг 2. Рассчитаем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Расчёт значений сезонной компоненты:

Для данной модели имеем:

0,554167 + ( -1,93333) + (-1,27083) + 2,666667 = 0,016667

Определим корректирующий коэффициент:

k = 0,016667 / 4 = 0,004167

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между её средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

Проверим условие равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,55 + (-1,9375) + (-1,275) + 2,6625 = 0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁ = 0,55;

II квартал: S₂ = -1,9375;

III квартал: S₃ = -1,275;

IV квартал: S₄ = 2,6625.

Занесём полученные значения в таблицу для соответствующих кварталов каждого года (гр. 3).

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y - S (гр. 4 табл.). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

T = 5,6525 + 0,206 * t

Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл.).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл.).
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
Коэффициент детерминации.

Рассчитаем коэффициент детерминации.

 

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,9% общей вариации уровней временного ряда.

Далее необходимо провести проверку адекватности модели данным наблюдения. Воспользуемся F-критерием Фишера:

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Табличное значение F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05,

k₁ = m = 1, k₂ = n - m - 1 = 14, 

Fтабл = 4,60

Поскольку F > Fтабл, то уравнение статистически значимо, надёжно.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

T = 5,6525 + 0,206 × t

Прогноз на 1 период:

T₁₇ = 5,6525 + 0,206 × 17 = 9,16

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно:

S₁ = 0,55

Таким образом,

F₁₇ = T₁₇ + S₁ = 9,16 + 0,55 = 9,71

Прогноз на 2 период:

T₁₈ = 5,6525 + 0,206 × 18 = 9,366

Значение сезонной компоненты за соответствующий период равно:

S₂ = – 1,9375

Таким образом, прогнозное значение на 2 квартала вперёд составит:

F₁₈ = T₁₈ + S₂ = 9,366 – 1,9375 = 7,429