Задача № 14. Расчёт средней продолжительности жизни

Имеются следующие данные о возрастных коэффициентах смертности:

для детей, в возрасте до одного года – 26,2‰ (К0),

для детей, достигших возраста один год – 6,5‰ (К1),

для детей, достигших возраста два года – 4,0‰ (К2),

для детей, достигших возраста три года – 2,5‰ (К3),

для детей, достигших возраста четыре года – 0,6‰ (К4).

Сумма предстоящих человеко-лет жизни для совокупности родившихся (10 тыс. чел.) составляет 636 600.

Составьте таблицу смертности для данных возрастных групп и определите среднюю ожидаемую продолжительность предстоящей жизни для возраста 0, 1, 2, 3 и 4 года.

 

Решение:

Таблицы смертности и средней продолжительности жизни, таблицы дожития - система взаимосвязанных упорядоченных по возрасту рядов чисел, организованных как описание процесса уменьшения с возрастом под действием смертности некоторого абстрактного поколения с фиксированной начальной численностью, именуемой корнем таблицы.

Макет таблицы смертности имеет вид:

Возраст, летЧисло доживших до возраста х, летВероятность дожить до следующего возрастаВероятность смерти в течение годаЧисло живущих в возрасте хПредстоящее число чел.-лет жизниСредняя продолжительность предстоящей жизниКоэффициент дожития
хlxpxqxLxTxex0Px

В нашей задаче численность поколения условно равна 10 000 чел.

На основе возрастных коэффициентов смертности можно определить вероятность смерти в течение года для каждого года жизни (qх):

q0 = 0,0262

q1 = 0,0065

q2 = 0,0040

q3 = 0,0025

q4 = 0,0006

Затем определим вероятность дожития от возраста х до возраста х + 1 (рх):

p0 = 1 - q0 = 1 - 0,0262 = 0,9738

p1 = 1 - q1 = 1 - 0,0065 = 0,9935

p2 = 1 - q2 = 1 - 0,0040 = 0,9960

p3 = 1 - q3 = 1 - 0,0025 = 0,9975

p4 = 1 - q4 = 1 - 0,0006 = 0,9994

Теперь рассчитаем число доживающих до возраста х (lx) :

l0 = 10 000 (по условию)

l1 = l0 × p0 = 10 000 × 0,9738 = 9 738

l2 = l1 × p1 = 9 738 × 0,9935 = 9 675

l3 = l2 × p2 = 9 675 × 0,9960 = 9 636

l4 = l3 × p3 = 9 636 × 0,9975 = 9 612

l5 = l4 × p4 = 9 612 × 0,9994 = 9 606

Найдём число живущих в возрасте х лет (Lх), представляющее собой среднюю арифметическую из числа доживающих до возраста х и до возраста х + 1:

Число живущих в возрасте 0 лет

Число живущих в возрасте 1 года

Число живущих в возрасте 2 лет

Число живущих в возрасте 3 лет

Число живущих в возрасте 4 лет

Определим число предстоящих человеко-лет жизни (Тх) для разных возрастов.

По условию задания

Т0 = 636 600

Предстощее число человеко-лет жизни

Предстощее число человеко-лет жизни

Предстощее число человеко-лет жизни

Предстощее число человеко-лет жизни

Предстощее число человеко-лет жизни

Рассчитаем среднюю продолжительность предстоящей жизни населения по формуле:

Формула средней продолжительности предстоящей жизни

Средняя продолжительность предстоящей жизни

Средняя продолжительность предстоящей жизни

Средняя продолжительность предстоящей жизни

Средняя продолжительность предстоящей жизни

Средняя продолжительность предстоящей жизни

Средняя продолжительность предстоящей жизни

Коэффициент передвижки Px – вероятность для индивидуума в интервале возраста от х до х+1 прожить 1 год и попасть в интервал от х+1 до х+2 – определяется по формуле:

Формула коэффициента дожития

Коэффициент дожития

Коэффициент дожития

Коэффициент дожития

Коэффициент дожития

Полученные результаты занесём в таблицу:

хlxpxqxLxTxe0xPx
0 10 000 0,9738 0,0262 9 869 636 600 63,7 0,984
1 9 738 0,9935 0,0065 9 707 626 731 64,4 0,995
2 9 675 0,9960 0,0040 9 656 617 024 63,8 0,997
3 9 636 0,9975 0,0025 9 624 607 368 63 0,998
4 9 612 0,9994 0,0006 9 609 597 744 62,2 -
5 - - - - 588 135 61,2 -
- - - - - - - -
100 - - - - - - -
        636 600      

Условие задачи взято из: Социально-экономическая статистика: Практикум/Под ред. В. Н. Салина, Е. П. Шпаковской: Учеб. пособие. - М.:Финансы и статистика, 2003. - 192 с.


Таблица смертности Коэффициент смертности Средняя продолжительность жизни Таблица дожития Коэффициент передвижки Вероятность смерти Вероятность дожития