Задача №188. Расчёт параметров рыночного равновесия по Курно

На рынке действуют две фирмы. Функция издержек для фирмы 1:

ТС(q1) = 2 × q1,

и для фирмы 2:

ТС(q2) = q22

Обратная функция рыночного спроса описывается уравнением:

P(Q) = 250 – 4 × Q,

где

Q = q1 + q2.

а) Определите объёмы выпуска фирм в равновесии Курно, максимизирующие их прибыли. Какой в этом случае будет рыночная цена? Какую прибыль получит каждая фирма?

б) Определите параметры рыночного равновесия по Штакельбергу. Какую прибыль получит каждая фирма?

в) Какая установится цена в соответствии с картельным соглашением?

 

Решение:

а) Подставим общий выпуск двух фирм

Q = q1 + q2

в формулу отраслевого спроса, получим:

P(Q) = 250 – 4 × (q1 + q2)

Распишем прибыли олигополистов:

П1 = TR1 – TC1 = P × q1 – 2 × q1 = (250 – 4 × (q1 + q2)) × q1 – 2 × q1 =

= 250 × q1 – 4 × q12 – 4 × q1 × q2 – 2 × q1 =

=248 × q1 – 4 × q12 – 4 × q1 × q2

П2 = TR2 – TC2 = P × q2 – q22 = (250 – 4 × (q1 + q2)) × q2 – q22 =

 = 250 × q2 – 4 × q22 – 4 × q1 × q2 – q22 =

 =250 × q2 – 5 × q22 – 4 × q1 × q2

Каждая фирма стремится к максимуму прибыли.

Найдём максимум функций прибыли. Для этого приравняем к нулю первые производные полученных функций и найдём оптимальный объём выпуска:

П1' = 248 – 8 × q1 – 4 × q2 = 0

П2' = 250 – 10 × q2 – 4 × q1= 0

Уравнение реакции для 1 фирмы: q1 = 31 – 0,5 × q2 

Уравнение реакции для 2 фирмы: q2 = 25 – 0,4 × q1

Точка пересечения этих линий определяет рыночное равновесие для монополистов.

Равновесие Курно

Решив систему из двух уравнений реакции дуополистов, получим равновесные значения выпуска для первой и второй фирмы.

q*1 = 23,125

q*2 = 15,75

Подставив равновесные значения q*1 и q*2 в функцию отраслевого спроса

P(Q) = 250 – 4 × (q1 + q2),

найдём цену равновесия.

Р = 250 – 4 × 23,125 – 4 × 15,75 = 94,5

Рассчитаем прибыль каждой фирмы в отдельности:

П1 = 94,5 × 23,125 – 2 × 23,125 = 2139,06

П2 = 94,5 × 15,75 – 15,752 = 1240,31

б) Пусть фирма 1 выступает в роли лидера, а фирма 2 - в роли последователя.

Тогда прибыль первой фирмы с учётом уравнения реакции фирмы 2 будет равна:

П1 = 248 × q1 – 4 × q12 – 4 × q1 × (25 – 0,4 × q1) = 148 × q1 – 2,4 × q12

Она достигает максимума при

П1' = 0

148 – 4,8 × q1 = 0

q1 = 30,83

При этом выпуск второй фирмы станет равным:

q2 = 25 – 0,4 × 30,83 = 12,668,

Р = 250 - 4 × 30,83 - 4 × 12,67 = 76,

П1 = 76 × 30,83 - 2 × 30,83 = 2281,42,

П2 = 76 × 12,67 - 12,672 = 802,39.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы 2 её прибыль снизилась, а фирмы 1 возросла.

В случае лидерства фирмы 2 её прибыль будет равна:

П2 = 250 × q2 – 5 × q22 – 4 × (31 – 0,5 × q2 ) × q= 126 × q2 – 3 × q22

Определим производную этой функции и приравняем её к нулю.

П2' = 0

126 – 6 × q2 = 0

q2 = 21

q1 = 31 – 0,5 × 21 = 20,5

Р = 250 - 4 × 20,5 - 4 × 21 = 84

П1 = 84 × 20,5 - 2 × 20,5 = 1681

П2 = 84 × 21 - 212 = 1323.

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы 1 её прибыль снизилась, а фирмы 2 возросла.

в) Если обе фирмы объединятся в картель, то их общая прибыль будет определяться по формуле:
Пk = TRk – TCk = (250 – 4 × q1 – 4 × q2) × (q1 + q2) – 2 × q1 – q22 =

= 248 × q1 – 4 × q12 – 8 × q1 × q2 + 250 × q2 – 5 × q22

Рассчитаем частные производные прибыли по аргументу q1  и по аргументу q2:

Пq1' = 248 – 8 × q1 – 8 × q2 = 0,

Пq2' = – 8 × q1 + 250 – 10 × q2 = 0.

Решим эту систему уравнений. Вычтем из второго уравнения первое и получим:

2 – 2 × q2 = 0.

q2 = 1,

q1 = 30,

Q = 31,

P = 250 – 4 × 31 = 126,

Прибыль картеля при этом:

Пk =  (250 – 4 × 30 – 4 × 1) × 31 – 2 × 30 – 12 = 3 845


Поблагодарить авторов


Олигополия Выручка Прибыль Равновесие Курно Модель Курно Параметры равновесия Рыночная цена Объём выпуска Общие издержки Уравнение реакции фирмы Модель Штакельберга Картель

Смотри ещё