Задача №77. Расчёт коэффициента Джини

Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, средний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Совокупный доход всех жителей страны равен Y. Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте индекс Джини.

 

Решение:

Третья часть населения, по условию задачи, бедные. Их доходы обозначим через х.

Тогда 2х – величина доходов среднего класса,

4х - величина доходов богатых.

Следовательно, совокупный доход всех жителей страны Y состоит из 7 одинаковых частей.

1/7 – доля доходов бедных,

2/7 – доля доходов среднего класса,

4/7 – доля доходов богатых.

Представим условие задачи в табличной форме:

Социальная группа населения Доля населения, xi Доля в общем объёме денежных доходов, уi
Расчётные величины

 

Кумулятивная доля дохода, cum yi xi cum yi xi уi
Бедные 0,333  0,1429  0,1429  0,0475724  0,0475724
Средний класс
0,333  0,2857  0,4286  0,1427138  0,0951414
Богатые 0,333  0,5714  1,0000  0,333  0,1902862
Итого 1,000  1,0000  -  0,5232862  0,333

 Построим кривую Лоренца:

Кривая Лоренца

 Индекс Джини рассчитаем двумя способами.

1) Способ аналитический. Коэффициент Джини рассчитывается по формуле:

Формула коэффициента Джини

где

xi – доля населения, принадлежащая к i-й социальной группе в общей численности населения;

уi – доля доходов, сосредоточенная у i-й социальной группы населения;

n – число социальных групп;

cum yi – кумулятивная доля дохода.

Расчёт коэффициента Джини


 2)    Способ геометрический. Коэффициент Джини определяется как отношение площади фигуры, образуемой кривой Лоренца и линией равномерного распределения (Sa), к площади треугольника ниже линии равномерного распределения (Sa+b):

Коэффициент Джини

Площадь фигуры, образуемой кривой Лоренца и линией равномерного распределения (Sa) легко найти вычитанием из площади треугольника (Sa+b) площадь фигуры, лежащей ниже кривой Лоренца.

Площадь фигуры b, лежащей ниже кривой Лоренца можно разбить на треугольник и две трапеции:

Площадь фигуры, расположенной под кривой Лоренца

Площадь фигуры, расположенной под кривой Лоренца

Площадь фигуры a будет равна:

Площадь фигуры, образуемой кривой Лоренца и линией равномерного распределения

Площадь фигуры, образуемой кривой Лоренца и линией равномерного распределения

Индекс Джини будет равен:

Расчёт коэффициента Джини

Оба способа дали одинаковый результат.

Как видно из таблицы, наиболее обеспеченная группа населения сконцентрировала 57,14% доходов, а доля наименее обеспеченной группы в общем доходе составила 14,29%.

Доходы Коэффициент Джини Кривая Лоренца
AURA - Платок из натурального шёлка - Чудное мгновение