Задача №6. Расчёт показателей вариации

По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Размер вклада, руб. До 400 400 - 600 600 - 800 800 - 1000 Свыше 1000
Число вкладчиков 32 56 120 104 88

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

 

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

Размер вклада, руб. 200 - 400 400 - 600 600 - 800 800 - 1000 1000 - 1200
Число вкладчиков 32 56 120 104 88

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Формула и расчёт размаха вариации

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

Средняя арифметическая простая

второго - 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Размер вклада, руб.Число вкладчиков, fСередина интервала, хxf
200-400 32 300 9600
400-600 56 500 28000
600-800 120 700 84000
800-1000 104 900 93600
1000-1200 88 1100 96800
Итого 400 - 312000

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

Формула и расчёт средней арифметической взвешенной

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

 Формула среднего линейного отклонения

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

Абсолютное отклонение варианта от средней

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

Взвешенные абсолютные отклонения

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

Сумма взвешенных абсолютных отклонений

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Отношение суммы взвешенных отклонений и суммы весов

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

Размер вклада, руб.Число вкладчиков, fСередина интервала, х Отклонение варианта от среднейАбсолютное отклонение варианта от среднейВзвешенные абсолютные отклонения
200-400 32 300 -480 480 15360
400-600 56 500 -280 280 15680
600-800 120 700 -80 80 9600
800-1000 104 900 120 120 12480
1000-1200 88 1100 320 320 28160
Итого 400 - - - 81280

 Формула и расчёт среднего линейного отклонения

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

 Формула дисперсии

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

Отклонение варианта от средней

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

Квадрат отклонений варианта от средней

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

Произведение отклонения варианта от средей на частоту

5. Суммируют полученные произведения:

Сумма произведений отклонений варианта от средней на частоту

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Формула дисперсии

Расчёты оформим в таблицу:

Размер вклада, руб.Число вкладчиков, fСередина интервала, хОтклонение варианта от среднейАбсолютное отклонение варианта от среднейВзвешенные абсолютные отклонения
200-400 32 300 -480 230400 7372800
400-600 56 500 -280 78400 4390400
600-800 120 700 -80 6400 768000
800-1000 104 900 120 14400 1497600
1000-1200 88 1100 320 102400 9011200
Итого 400 - - - 23040000

Формула и расчёт дисперсии

5) Среднее квадратическое отклонение размера вклада определяется как корень квадратный из дисперсии:

Расчёт среднего квадратического отклонения

6) Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

 Формула и расчёт коэффициента вариации

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признаков вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Размах вариации Средняя арифметическая взвешенная Средняя арифметическая простая Среднее линейное отклонение Дисперсия Среднее квадратическое отклонение Коэффициент вариации

Смотри ещё

AURA - Платок из натурального шёлка - Чудное мгновение