Задача №5. Построение автокорреляционной функции

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии yt жителями региона за 16 кварталов.

t yt t yt
1 5,6 9 8,2
2 4,7 10 5,6
3 5,2 11 6,4
4 9,1 12 10,8
5 7,0 13 9,1
6 5,1 14 6,7
7 6,0 15 7,5
8 10,2 16 11,3
Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда.

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

 

Решение:

1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, то есть между соседними уровнями ряда yt и yt-1 (лаг = 1), и измерим тесноту связи между объёмом потребления электроэнергии в текущем и предыдущем году.

Для этого составим таблицу расчётных данных.

Расчёт коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда объемов потребления электроэнергии жителями региона:

t yt yt-1 Отклонение уровня ряда от среднего значения 1 Отклонение уровня ряда от среднего значения 2 Произведение отклонений от средних Квадрат отклонения уровня ряда от среднего значения 1 Квадрат отклонения уровня ряда от среднего значения 2
1 5,6 - - - - - -
2 4,7 5,6 -2,827 -1,547 4,371911 7,990044 2,392178
3 5,2 4,7 -2,327 -2,447 5,692578 5,413378 5,986178
4 9,1 5,2 1,573 -1,947 -3,06276 2,475378 3,789511
5 7 9,1 -0,527 1,953 -1,02876 0,277378 3,815511
6 5,1 7 -2,427 -0,147 0,355911 5,888711 0,021511
7 6 5,1 -1,527 -2,047 3,124578 2,330711 4,188844
8 10,2 6 2,673 -1,147 -3,06542 7,146711 1,314844
9 8,2 10,2 0,673 3,053 2,055911 0,453378 9,322844
10 5,6 8,2 -1,927 1,053 -2,02942 3,712044 1,109511
11 6,4 5,6 -1,127 -1,547 1,742578 1,269378 2,392178
12 10,8 6,4 3,273 -0,747 -2,44409 10,71471 0,557511
13 9,1 10,8 1,573 3,653 5,747911 2,475378 13,34684
14 6,7 9,1 -0,827 1,953 -1,61476 0,683378 3,815511
15 7,5 6,7 -0,027 -0,447 0,011911 0,000711 0,199511
16 11,3 7,5 3,773 0,353 1,333244 14,23804 0,124844
Итого 112,9 107,2 - - 11,19133 65,06933 52,37733

Рассчитаем выборочные средние:

Формула выборочной средней 1

Формула выборочной средней 2

Определим коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

Формула и расчёт коэффициента автокорреляции уровней ряда первого порядка

Полученное значение свидетельствует об очень слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней.

Рассчитаем коэффициент автокорреляции 2-го порядка.

t yt yt-2 Отклонение уровня ряда от среднего значения 3 Отклонение уровня ряда от среднего значения 4 Произведение отклонений от средних Квадрат отклонения уровня ряда от среднего значения 3 Квадрат отклонения уровня ряда от среднего значения 4
1 5,6 - - - - - -
2 4,7 - - - - - -
3 5,2 5,6 -2,529 -1,521 3,847041 6,393673 2,314745
4 9,1 4,7 1,371 -2,421 -3,32082 1,880816 5,863316
5 7 5,2 -0,729 -1,921 1,399898 0,530816 3,691888
6 5,1 9,1 -2,629 1,979 -5,20082 6,909388 3,914745
7 6 7 -1,729 -0,121 0,209898 2,987959 0,014745
8 10,2 5,1 2,471 -2,021 -4,99582 6,107959 4,086173
9 8,2 6 0,471 -1,121 -0,52867 0,222245 1,257602
10 5,6 10,2 -2,129 3,079 -6,55296 4,530816 9,477602
11 6,4 8,2 -1,329 1,079 -1,43296 1,765102 1,163316
12 10,8 5,6 3,071 -1,521 -4,67296 9,433673 2,314745
13 9,1 6,4 1,371 -0,721 -0,98939 1,880816 0,520459
14 6,7 10,8 -1,029 3,679 -3,78367 1,057959 13,53189
15 7,5 9,1 -0,229 1,979 -0,45224 0,052245 3,914745
16 11,3 6,7 3,571 -0,421 -1,5051 12,7551 0,177602
Итого 108,2 99,7 - - -27,9786 56,50857 52,24357

Выборочные средние:

Формула выборочной средней 3

Формула выборочной средней 4

Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка:

Коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка

Продолжив расчёты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Её значения приведены в таблице:

Лаг Коэффициент автокорреляции уровней
1 0,1917
2 -0,5149
3 0,1272
4 0,9862
5 0,1448
6 -0,6487
7 -0,00647
8 0,9632

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде линейной тенденции и сезонных колебаний периодичностью в 4 квартала.

2. Построим аддитивную модель временного ряда.
Общий вид аддитивной модели следующий:
Y = T + S + E
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объёмы потребления электроэнергии (гр. 3);

2) разделив полученные суммы на 4, найдём скользящие средние (гр. 4). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

3) приведём эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдём средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние  (гр.5).

Расчёт оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Расчёт скользящей средней

Шаг 2. Рассчитаем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Расчёт значений сезонной компоненты:

Показатели Год № квартала, i
I II III IV
  1 - - -1,125 2,55
2 0,3 -1,8375 -1,225 2,7625
3 0,65 -2,075 -1,4625 2,6875
4 0,7125 -1,8875 - -
Итого за i-й квартал   1,6625 -5,8 -3,8125 8
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала, Средняя оценка сезонной компоненты   0,554167 -1,93333 -1,27083 2,666667
Скорректированная сезонная компонента, Si   0,55 -1,9375 -1,275 2,6625

Для данной модели имеем:

0,554167 + ( -1,93333) + (-1,27083) + 2,666667 = 0,016667

Определим корректирующий коэффициент:

k = 0,016667 / 4 = 0,004167

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между её средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

Формула скорректированного значения сезонной компоненты

Проверим условие равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

0,55 + (-1,9375) + (-1,275) + 2,6625 = 0

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S= 0,55;

II квартал: S2 = -1,9375;

III квартал: S3 = -1,275;

IV квартал: S= 2,6625.

Занесём полученные значения в таблицу для соответствующих кварталов каждого года (гр. 3).

t yt Si T + E = yt – Si T T + S E = yt – (T + S) E2
1 2 3 4 5 6 7 8
1 5,6 0,55 5,05 5,8588235 6,408824 -0,80882 0,654196
2 4,7 -1,9375 6,6375 6,0651471 4,127647 0,572353 0,327588
3 5,2 -1,275 6,475 6,2714706 4,996471 0,203529 0,041424
4 9,1 2,6625 6,4375 6,4777941 9,140294 -0,04029 0,001624
5 7 0,55 6,45 6,6841176 7,234118 -0,23412 0,054811
6 5,1 -1,9375 7,0375 6,8904412 4,952941 0,147059 0,021626
7 6 -1,275 7,275 7,0967647 5,821765 0,178235 0,031768
8 10,2 2,6625 7,5375 7,3030882 9,965588 0,234412 0,054949
9 8,2 0,55 7,65 7,5094118 8,059412 0,140588 0,019765
10 5,6 -1,9375 7,5375 7,7157353 5,778235 -0,17824 0,031768
11 6,4 -1,275 7,675 7,9220588 6,647059 -0,24706 0,061038
12 10,8 2,6625 8,1375 8,1283824 10,79088 0,009118 8,31E-05
13 9,1 0,55 8,55 8,3347059 8,884706 0,215294 0,046352
14 6,7 -1,9375 8,6375 8,5410294 6,603529 0,096471 0,009307
15 7,5 -1,275 8,775 8,7473529 7,472353 0,027647 0,000764
16 11,3 2,6625 8,6375 8,9536765 11,61618 -0,31618 0,099968

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины T + E = Y - S (гр. 4 табл.). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (T + E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

T = 5,6525 + 0,206 * t

Подставляя в это уравнение значения t = 1,...,16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл.).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл.).
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.
Коэффициент детерминации.

Формула коэффициента детерминации

t yt Е2 Квадрат отклонения уровня ряда от среднего значения
1 5,6 0,654196 3,262539
2 4,7 0,327588 7,323789
3 5,2 0,041424 4,867539
4 9,1 0,001624 2,868789
5 7 0,054811 0,165039
6 5,1 0,021626 5,318789
7 6 0,031768 1,977539
8 10,2 0,054949 7,805039
9 8,2 0,019765 0,630039
10 5,6 0,031768 3,262539
11 6,4 0,061038 1,012539
12 10,8 8,31E-05 11,51754
13 9,1 0,046352 2,868789
14 6,7 0,009307 0,498789
15 7,5 0,000764 0,008789
16 11,3 0,099968 15,16129
Итого 118,5 1,457029 68,549

Рассчитаем коэффициент детерминации.

 Расчёт коэффициента детерминации

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,9% общей вариации уровней временного ряда.

Далее необходимо провести проверку адекватности модели данным наблюдения. Воспользуемся F-критерием Фишера:

Формула и расчёт F-критерия Фишера

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Табличное значение F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05,

k= m = 1, k2 = n - m - 1 = 14, 

Fтабл = 4,60

Поскольку F > Fтабл, то уравнение статистически значимо, надёжно.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели.

Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

T = 5,6525 + 0,206 × t

Прогноз на 1 период:

T17 = 5,6525 + 0,206 × 17 = 9,16

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно:

S1 = 0,55

Таким образом,

F17 = T17 + S1 = 9,16 + 0,55 = 9,71

Прогноз на 2 период:

T18 = 5,6525 + 0,206 × 18 = 9,366

Значение сезонной компоненты за соответствующий период равно:

S2 = – 1,9375

Таким образом, прогнозное значение на 2 квартала вперёд составит:

F18 = T18 + S2 = 9,366 – 1,9375 = 7,429


Поблагодарить авторов


Автокорреляционная функция Коэффициент автокорреляции Выборочная средняя Скользящая средняя Коэффициент детерминации F-критерий Фишера Аддитивная модель временного ряда