Задача №47. Построение модели линейной регрессии

Имеются данные о количестве проданного товара и его цене:

Количество (тыс. / день) Цена (руб. / за ед.)
8 5,0
10 3,5
24 2,0
16 2,5

Изобразить данные на графике, построить модель линейной регрессии, определить тесноту связи. Объяснить значение коэффициентов.

  

Решение:

Изобразим данные на графике:

Поле корреляции

Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии:

Формула линейной регрессии

(Количество проданного товара, зависящее от цены Р– количество проданного товара, зависящее от цены Р),

необходимо решить систему нормальных уравнений относительно a и b:

Система нормальных уравнений

Построим таблицу исходных и расчётных данных.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

№ п/п Р Q P2 Q2 P×Q Количество проданного товара, зависящее от цены Р 
1 5 8 25 64 40 6
2 3,5 10 12,25 100 35 13,28571
3 2 24 4 576 48 20,57143
4 2 16 6,25 256 40 18,14286
Итого 13 58 47,5 996 163 58
Среднее 3,25 14,5 х х 40,75 х
Дисперсия 1,3125 х х х х х
Среднее квадратическое отклонение 1,145644 х х х х х

Средние значения P и Q определим по формуле средней арифметической простой:

Формула средней арифметической простой

Среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

Формула среднего квадратического отклонения

Возведя в квадрат полученное значение, получим дисперсию:

Формула дисперсии

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Формула и расчёт коэффициента регрессии

Формула и расчёт параметра а

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Уравнение линейной регрессии

Подставим в данное уравнение исходные значения Р и найдём сумму расчётных значений Q (последняя графа таблицы).

Равенство фактических и расчётных данных

Так как суммы исходных и расчётных значений Q совпадают, следовательно, параметры уравнения найдены верно.

С увеличением цены на 1 руб. количество проданного товара снизится  в среднем на 4,86 тыс.

Найдём коэффициент корреляции для оценки силы связи между двумя переменными – количеством проданного товара (Q) и ценой (P):

Формула и расчёт коэффициента корреляции

Расчётная таблица:

№ п/п P Q Произведение отклонений Квадрат отклонения от среднего значения Квадрат отклонения от среднего значения
1 5 8 -11,375 3,0625 42,25
2 3,5 10 -1,125 0,0625 20,25
3 2 24 -11,875 1,5625 90,25
4 2,5 16 -1,125 0,5625 2,25
Итого 13 58 -25,5 5,25 155
Среднее 3,25 14,5 - Корень квадратный из суммы квадратов отклонений вариант от среднего значения Корень квадратный из суммы квадратов отклонений вариант от среднего значения

Оценим корреляцию по шкале Чеддока.

Коэффициент корреляции по абсолютной величине Интерпретация
до 0,3 слабая
0,3 - 0,5 умеренная
0,5 - 0,7 заметная
0,7 - 0,9 высокая
0,9 - 1,0 весьма высокая

Полученный коэффициент корреляции указывает на высокую связь между ценой и количеством проданного товара. Знак минус показывает обратную зависимость между ценой и объёмом продаж.


Поблагодарить авторов


Регрессия Дисперсия Корреляция Линейная регрессия Уравнение регрессии Коэффициент корреляции Средняя арифметическая простая Среднее квадратическое отклонение Шкала Чеддока

Смотри ещё

AURA - Платок из натурального шёлка - Чудное мгновение