Задача №23. Расчёт показателей асимметрии и эксцесса

Распределение коммерческих банков по размеру активов характеризуется следующими данными:

Размер активов, млн руб. До 200 200 - 300 300 - 400  400 - 500 500 - 600 600 и более Итого
Удельный вес банков, % к итогу 8 25 52 7 5 3 100

Определите характеристики распределения:

а) среднюю;

б) моду;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициент вариации;

д) коэффициент асимметрии и эксцесс.

 

Решение:

Данный интервальный вариационный ряд содержит открытые интервалы, которые предварительно необходимо закрыть. Для этого из величины верхней границы первого интервала надо вычесть величину второго интервала. Получим нижнюю границу первого интервала.

200 - 100 = 100.

Первый интервал: 100 - 200.

Теперь к нижней границе последнего интервала прибавляем величину предшествующего интервала:

600 + 100 = 700

Последний интервал: 600 - 700.

а) Определение средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

 Формула средней арифметической взвешенной

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения каждого интервала.

Так, например, дискретная величина х для первого интервала будет равна: (100 + 200) / 2 = 150.

Построим таблицу рассчётных данных:

хfхfПроизведение отклонения варианта от средей на частотуРасчёт центрального момента третьего порядка Расчёт центрального момента четвёртого порядка 
150 8 1 200  273800  -50 653 000  9 370 805 000
250 25 6 250  180625  -15 353 125  1 305 015 625
350 52 18 200  11700  175 500  2 632 500
450 7 3 150  92575  10 646 125  1 224 304 375
550 5 2 750  231125  49 691 875  10 683 753 125
650 3 1 950  297675  93 767 625  29 536 801 875
Итого 100 33 500  1087500  88 275 000  52 123 312 500

 Дальнейший расчёт производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной.

 Расчёт средней арифметической взвешенной

б) Определим моду.

Мода - это величина признака наиболее часто встречающегося в совокупности.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

Формула моды

где

хМо – начальное значение интервала, содержащего моду;

iМо – величина модального интервала,

fМо – частота модального интервала,

fМо-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

fМо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода содержится в интервале от 300 до 400, так как у этого интервала наибоьшая частота

f = 52.

 Расчёт моды млн. руб.

в) Найдём среднее квадратическое отклонение:

 Формула и расчёт среднего квадратического отклонения

Значения размера активов в ряду распределения могут отличаться от среднего значения на 104,28 млн. руб.

Дисперсия будет равна:

σ2 = 10 875

г) Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

Формула и расчёт коэффициента вариации

Совокупность однородна, так как коэффициент вариации не превышает 33%.

д) Рассчитаем показатель асимметрии через отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе, то есть

Формула коэффициента асимметрии

где μ3 - центральный момент третьего порядка, рассчитываемый по формуле:

Центральный момент третьего порядка

μ3 = 88 275 000 / 100 = 882 750

As = 882 750 / 104,283 = 0,78

Так как величина показателя асимметрии положительна, следовательно, речь идёт о правосторонней асимметрии.

Полученный результат свидетельствует о наличии несущественной по величине и положительной по своему характеру асимметрии.

Далее рассчитаем показатель эксцесса (Еk). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвёртого порядка:

Центральный момент четвёртого порядка

μ4 = 52 123 312 500 / 100 = 521 233 125

Показатель эксцесса

σ4 = 118 265 625

Ek = 521 233 125 / 118 265 625 – 3 = 4,41 - 3 = 1,41

Так как Ek > 0 распределение является островершинным.

Асимметрия Эксцесс Коэффициент асимметрии Показатель эксцесса Мода Медиана Среднее квадратическое отклонение Средняя арифметическая взвешенная

Смотри ещё

AURA - Платок из натурального шёлка - Масаи