Задача №127. Расчёт прибыли, оптимальной цены и выпуска продукции

Допустим, общие затраты монополии равны

Функция общих издержек

при спросе на её продукцию

Q = 32 – 4 × Р.

Найти оптимальную цену и выпуск продукции, обеспечивающие наибольшую прибыль. Вычислить эту прибыль.

 

Решение:

Оптимальный выпуск продукции найдём с помощью условия максимизации прибыли:

МС = MR

Найдём функции предельных издержек и предельного дохода.

Продифференцируем функцию общих издержек и определим функцию предельных издержек.

Формула и расчёт предельных издержек

Для определения функции предельного дохода найдём функцию общего дохода по формуле:

TR = P × Q

P выразим из функции спроса, получим обратную функцию спроса. Подставим её в формулу общего дохода:

Функция общего дохода

Найдём производную этой функции и получим функцию предельного дохода.

Формула и расчёт предельного дохода

Теперь можно составить уравнение:

МС = MR.

Надо отметить, что это необходимое, но не достаточное условие максимизации прибыли.

Расчёт оптимального выпуска 1

Расчёт оптимального выпуска 2

Расчёт оптимального выпуска 3

Возведём обе части в квадрат:

Расчёт оптимального выпуска 4

Расчёт оптимального выпуска 5

Расчёт оптимального выпуска 6

Умножим обе части уравнения на - 4 и перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:

Q3 – 14 × Q2 + 49 × Q – 36 = 0

Найдём корни этого кубического уравнения:
(Q2 – 10 × Q + 9)(Q – 4) = 0

Корни квадратного уравнения 9 и 1.

Таким образом, получено 3 корня:

Q1 = 4, Q2 = 9, Q3 = 1.

Как уже было отмечено МС = MR – это необходимое, но не достаточное условие максимизации прибыли. В этом можно убедиться, определив величину прибыли в каждом из трёх случаев:

при Q1 = 4, P1 = 8 – 1 = 7

П1 = TR1 – TC1 = P1 * Q1 – TC1 = 7 * 4 – 6 * 2 – 4,5 * 4 + 5 = 3;

при Q2 = 9, P2 = 8 – 2,25 = 5,7

П2 = TR2 – TC2 = P2 * Q2 – TC2 = 5,75 * 9 – 6 * 3 – 4,5 * 9 + 5 = – 1,75;

при Q3 = 1, P3 = 8 – 0,25 = 7,75

П3 = TR3 – TC3 = P3 * Q3 – TC3 = 7,75 * 1 – 6 * 1 – 4,5 * 1 + 5 = 2,25

Итак, максимум прибыли достигается при Q1 = 4 и P1 = 7.


Поблагодарить авторов


Затраты Цена Прибыль Спрос Издержки Оптимальный выпуск фирмы Предельные издержки Предельный доход Общие издержки Общий доход

Смотри ещё

AURA - Платок из натурального шёлка - Древо жизни